수학하는 아저씨

기하학 도구를 이용해 글을 몇 개인가 쓰긴 했지만, 몇 가지 아쉬운 부분이 있었어요. 지식iN 답변에도 사용하곤 하면서 이제 조금 익숙해졌죠.기하학 도구의 기본은 '점'이에요. 모든 대상을 기준이 되는 점으로 정의하죠. 선분이라면 양 끝점, 원이라면 중심과 원 위의 한 점을 지정해야 하죠.물론 입력칸에 함수나 방정식을 넣어 곡선을 그릴 수도 있지만, 배경처럼 인식할 뿐인 것 같아요. 선택할 수 있는 대상이 아니죠. 좌표로 입력한 점은 대상으로 인식하지만요.https://www.desmos.com/geometry/si3lxhf84n Desmos | 기하학 www.desmos.com위의 링크는 원 위의 한 점을 기준으로 정오각형을 그린 거죠. 기하학 도구는 이런 작도가 가능해요.참고로 위의 작도 방법을 설명..

에피사이클로이드를 소개하면서 함께 설명했던 것처럼, 하이포사이클로이드는 고정된 원을 따라 그 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 지나는 궤적을 말해요.위의 곡선은 하이포사이클로이드 중 하나인 델토이드 deltoid예요. 보시다시피 굴러가는 원이 고정된 원의 $\frac{1}{3}$이죠. 물론 이 곡선도 에피사이클로이드처럼 두 원의 비에 따라 곡선이 달라지죠. 하지만 지난 글에도 이야기한 것처럼 그릴 때 고려할 점이 많이 달라요.먼저 고정된 원 내부에 생기는 곡선이니 지난번처럼 표현하는 영역을 신경 쓸 필요가 없어요. 대신 굴러가는 원이 내부에 들어가려면 더 작아야 하죠. 또한 에피사이클로이드와 다르게 같은 비가 아니라도 같은 곡선이 나오기도 해요. 물론 비가 무리수가 되면 곡선이 같은 궤적을 반복하지 않는다는 ..

아르키메데스의 다면체를 모두 소개하지는 않았지만, 먼저 쌍대인 카탈랑 다면체 Catalan solid를 소개할게요. 정다면체의 꼭짓점을 깎고 나서 모서리를 깎는 건, 특히 육팔면체나 십이이십면체에서는 꼭짓점을 깎는 것과 마찬가지이기에 그 쌍대다면체를 알아두는 게 좋겠죠.이전 글에서 소개했다시피, 저는 desmos의 3D 그래핑 계산기에서 입체도형을 그릴 때 각 면의 방정식을 이용해서 부등식으로 표현하고 있어요. 앞서 소개한 아르키메데스의 다면체들은 그 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽고, 쌍대다면체는 꼭짓점과 중심을 잇는 직선에 수직인 평면으로 그릴 수 있으니 그 방정식을 구하기 쉽죠.https://www.desmos.com/3d/lri6cftbxb Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com..

다음 그림과 같이 예각삼각형 ABC의 두 꼭짓점 A, B에서 각각의 대변에 그은 두 수선의 교점을 P라고 하자. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 4라고 할 때, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{P}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$의 값은?최근에 지식iN에 올라왔던 질문이에요. 보조선을 그릴만 한 곳이 바로 보이지는 않는 조금 까다로운 문제네요.제목에서 눈치채시겠지만 이 문제는 보조선으로 내접사각형을 그리면 되는 문제죠.위 그림처럼 선분 AP와 BP에 평행한 직선을 각각 점 B와 A를 지나도록 그리고, 그 교점을 Q라 할게요. 사각형 AQBP는 당연히 평행사변형이죠. 그리고 점 P가 수선의 교점이니 선분 AQ와 BQ는 각각 AC와 BC에 수직이에요.이제 사각형 AQBC를 살펴보면 그림의 원에 내접하는 사각형이라는 것을 알..

지난번에 그려봤던 사이클로이드는 직선 위를 굴러가는 원으로 만들었죠. 에피사이클로이드 epicycloid와 하이포사이클로이드 hypocycloid는 직선이 아니라 원 위를 굴러가는 원으로 만들어요.평면에서 원 위를 다른 원이 굴러가려면, 내부와 외부의 경우로 나뉘죠. 외부에서 굴러가며 만들어지는 곡선을 에피사이클로이드, 내부의 경우 하이포사이클로이드라고 해요.위의 곡선이 에피사이클로이드 중 하나인 심장형 곡선, 카디오이드 cardioid예요. 기준이 되는 고정된 원(기초원)과 굴러가는 원(구름원 epicycle)의 반지름이 같은 경우죠. 에피사이클로이드는 두 원의 반지름 길이 비에 따라 모양이 달라져요. 기초원의 반지름 길이가 구름원의 유리수 $\frac{p}{q}$ ($p$와 $q$는 서로소인 양의 정수) ..

아르키메데스의 다면체 Archimedean solid는 볼록 정다면체(플라톤의 다면체 Platonic solid)의 꼭짓점과 모서리를 깎아 만든, 두 가지 이상의 정다각형으로 모든 면이 구성된 입체도형을 말하죠. 서로 다른 정다각형인 면끼리는 당연히 바꿔줄 수 없지만, 꼭짓점에 모인 면들은 모두 같은 구성이므로 한 꼭짓점을 다른 어떤 꼭짓점 위치로 보내도 형태를 그대로 유지할 수 있어요.꼭짓점을 깎을 때, 정다면체의 중심과 꼭짓점을 잇는 직선에 수직인 평면으로 자르기에, 이 평면들로 만들어지는 입체도형은 쌍대다면체가 되죠. 지난 글에서 쓴 쌍대다면체를 겹쳐 그린 아래의 그림을 보면 이해가 쉬워요.https://www.desmos.com/3d/lifthjpiov Desmos | 3D 그래핑 계산기 www...

오늘은 desmos 연습으로 사이클로이드 곡선을 표현해 볼게요.사이클로이드 cycloid는 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 나타내는 곡선이에요.위 그림은 반지름 1인 원이 $x$축 위를 굴러갈 때 원점을 지나는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드죠. 사실 곡선 자체는 그리 어렵지 않게 그릴 수 있어요. 검색만 조금 해봐도 곡선의 식은 쉽게 알 수 있으니까요.$$x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t).$$위의 식이 잘 알려진 사이클로이드의 매개변수 방정식이에요. 원의 반지름인 $r$의 값을 정해 $r(t-\sin t,1-\cos t)$라고 입력하고, $t$의 범위만 지정해 주면 곡선이 그려지죠.desmos는 $t$를 자연스럽게 매개변수로 인식해요. $t$에 대한 ..

삼각형 ABC의 변 BC를 지름으로 하는 원과 나머지 두 변 AB와 AC가 만나는 점을 각각 P와 Q라 할 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{P}}$와 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{Q}}$의 교점을 H라 하고, 삼각형 HAB, HBC, HCA의 외심을 각각 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$라 하자. 이때, 점 H로부터 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$에 이르는 거리를 비교하시오.이 문제는 삼각형의 수심과 외심의 관계에 대해 묻는 문제예요. 사실 "삼각형의 외심은 그 중점삼각형의 수심이다"라는 정리만 알면 바로 풀리는 문제죠. 물론 바로라고 해도 보조선 하나 긋지 않고 말하긴 어렵지만요.위 문제의 그림은 desmos의 기하학 도구를 이용해 지식iN에 올라왔던 문제의 그림을 제가 직접 그린 거예요. 여기에 필요한 보조선을 추가해 보면 아래..

desmos에도 3차원 도형을 그릴 수 있는 도구가 있어요. 3D 그래핑 계산기죠. 저도 아직 많이 써보지 않아서 익숙하지는 않아요.아마 그래프를 그리는 건 어렵지 않겠지만, 정다면체 같은 입체도형을 그려보려고 했더니 처음엔 막막하더라구요. 그러다 찾은 첫 방법은 부등식이에요. 평면은 세 변수의 일차 방정식으로 표현할 수 있으니, 다면체의 한 면을 기준으로 일차 부등식을 넣고 나머지 면들에 대한 부등식을 제한조건으로 주는 거죠.https://www.desmos.com/3d/neu2mpeo59 Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com위의 링크는 정사면체 regular tetrahedron를 그려본 거예요. 정사면체는 정육면체의 서로 이웃하지 않은 네 꼭짓점을 이어 만들 수 있죠. 이를..

정오각형에서 나타나는 황금비는 잘 알려져 있죠? desmos 연습으로 이 황금비에 대해 살펴보죠.정오각형은 대각선 하나로 삼각형과 사각형으로 나뉘죠. 이때 삼각형은 이등변삼각형으로 꼭짓각이 $\frac{3\pi }{5}$=108˚, 밑각이 $\frac{\pi }{5}$=36˚예요. 한 꼭짓점을 공유하는 두 대각선에 대해 이런 이등변삼각형을 생각해 보면, 대각선이 정오각형의 내각을 정확히 삼등분한다는 걸 알 수 있죠.정오각형의 세 꼭짓점을 이어 만들 수 있는 삼각형은 모두 이등변삼각형 두 가지 중 하나로 나타나요. 하나는 위에서 말한 것과 같은 형태, 다른 하나는 한 변과 그 대각을 이어 만든 꼭짓각이 $\frac{\pi }{5}$인 경우죠. 그리고 각 삼각형들과 꼭짓점을 공유하는 다른 대각선으로 삼각형을 둘로 나눴을 때, 두 삼각..