쌍곡선 hyperbola의 방정식 $x^2-y^2=1$을 매개변수 방정식으로 나타내면 어떻게 될까요? 원의 방정식 $x^2+y^2=1$은 보통 $x=\cos t$와 $y=\sin t$로 매개변수 방정식을 표현하죠. 그래서 삼각함수 trigonometric function를 원함수 circular function라고도 해요.
쌍곡선의 매개변수 방정식은 $\p{t+\frac1t}^2-\p{t-\frac1t}^2=4$를 이용해 정의할 수 있어요. $x={t+\frac1t\over2},\quad y={t-\frac1t\over2}$라 하면 쌍곡선의 방정식을 만족하죠. 하지만 이 함수들은 삼각함수와 달리 미분하면 특징이 사라져요. 그래서 미분을 해도, 역수를 취해도 특징이 대부분 유지되는 지수함수를 가져와서 다시 정의하면, $\p{e^t+e^{-t}}^2-\p{e^t-e^{-t}}^2=4$이니\[x={e^t+e^{-t}\over2},\quad y={e^t-e^{-t}\over2}\]이 되는 거죠. 원의 매개변수 방정식에 맞춰 간단히 $x=\cosh t,\quad y=\sinh t$라 쓰고 각각 hyperbolic cosine, hyperbolic sine이라고 읽어요. 이 함수들로 정의하는 tanh, sech, csch, coth와 함께 쌍곡선 함수 hyperbolic function라고 하죠.
쌍곡선 함수를 미분을 해보면,\[{d\over dx}\cosh x={d\over dx}\p{e^x+e^{-x}\over2}={e^x-e^{-x}\over2}=\sinh x,\]\[{d\over dx}\sinh x={d\over dx}\p{e^x-e^{-x}\over2}=\cosh x\]라는 걸 알 수 있어요. 이런 성질은 삼각함수와 굉장히 비슷하죠.
특히 지난번에 소개한 오일러 공식을 이용하면, 그 비슷함을 등식으로 간단히 표현할 수 있어요. $e^{i\th}=\cos\th+i\sin\th$를 이용하면\[\cos\th={e^{-i\th}+e^{i\th}\over2},\quad\sin\th=i{e^{-i\th}-e^{i\th}\over2}\]이 되니 쌍곡선 함수와 비슷하다는 게 바로 보이죠. 즉, $\cosh t=\cos it$와 $\sinh t=-i\sin it$가 성립해요. 이 식을 이용해서 위에서 나온 쌍곡선의 방정식이나, 쌍곡선 함수의 미분이 성립한다는 걸 보일 수도 있겠죠. 물론 복소수에서 삼각함수는 위의 오일러 공식으로 유도된 식으로 정의하면 되고, 정의에 의해 피타고라스 정리 $\sin^2\th+\cos^2\th=1$을 만족한다는 것도 어렵지 않게 알 수 있어요.
구체적으로 살펴보자면, 실수 $a$와 $b$에 대해\[\eqalign{\cos(a+bi)&=&{e^{-ai+b}+e^{ai-b}\over2}\\&=&{e^{-ai}e^b+e^{ai}e^b+e^{-ai}e^{-b}+e^{ai}e^{-b}\over4}\\&&+{e^{-ai}e^b-e^{ai}e^b-e^{-ai}e^{-b}+e^{ai}e^{-b}\over4}\\&=&\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b,\\\sin(a+bi)&=&\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b}\]가 성립하고, 둘의 제곱합이 1이 되죠. 물론 이 식들은 두 각의 합에 대한 삼각함수의 공식을 이용해서도 구할 수 있어요.
이렇게 여러 가지 방향으로 비교할수록 삼각함수와 쌍곡선 함수가 깊이 연관되어 있다는 걸 알 수 있죠.