적분의 이해

오늘은 적분의 정의를 이용해 극좌표계나 구면좌표계로 치환적분을 할 때 나타나는 식이 왜 그런 형태인지 생각해 볼까 해요.

함수의 적분을 처음 배울 때 $x$축과 함수의 그래프 사이의 넓이를 구하기 위해 적분 구간을 잘게 나눠 직사각형의 넓이로 근사해 구하는 식을 배우게 되죠.$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}.$$위 식에서 빨강으로 표시된 부분이 잘게 나눈 구간의 너비로 직사각형의 가로라고 생각하면 세로에 해당하는 함숫값을 곱해 넓이가 되는 거죠.

사실 이 정도는 적분을 배운 사람이라면 누구나 본 적이 있는 내용일 거예요. 하지만 이 내용이 꼭 직사각형으로만 계산해야 하는 것은 아니에요. 실제로 고등학교 과정에서 단면적에 대한 식을 적분해 부피를 구하는 문제도 하나의 예로 들 수 있죠. 극좌표계를 이용해 중적분을 할 때에도 비슷하게 적용할 수 있어요.

중적분은 ${\iint }_{D}fdA$라고 흔히 표현하죠. 여기서 $A$는 넓이 area에서 유래한 것으로 $dA$는 평면의 넓이를 잘게 나눈 것을 의미해요. 직교좌표계의 각 축과 수직인 방향으로 나눈다면 각각의 조각이 직사각형이 되니 $dA=dxdy$가 되죠.

반지름이 $r$이고 중심각이 $\theta$인 부채꼴의 넓이는 $\frac{1}{2}{r}^2\theta$이니 원점을 지나는 직선들과 원점을 중심으로 하는 동심원으로 적분영역 $D$를 나눈다면 극좌표계를 이용해 $dA=\frac{1}{2}((r+dr{)}^{2}d\theta -r^{2}d\theta )=rdrd\theta +\frac{1}{2}d{r}^{2}d\theta$가 되겠네요. $dr$은 0으로 수렴하는 값이고, 두 변수에 대해 한 번씩만 적분하기 때문에 $\frac{1}{2}d{r}^{2}d\theta$는 0이 되어 사라지죠.

이번엔 구면좌표계를 이용한 삼중적분을 생각해 볼까요? ${\iiint }_{E}fdV$에서 $V$는 부피 volume에서 따온 거죠. 당연히 직교좌표계에서는 $dV=dxdydz$예요.

구의 내부를 위도와 경도로 나눈다고 생각하면, 위도는 꼭짓점이 구의 중심이고 축이 일치하는 원뿔면, 경도는 원뿔면의 축을 포함하는 평면으로 나누게 되죠. 경도는 두 평면이 이루는 각이 같다면 같은 모양이 나타나지만, 위도는 시작점에 따라 나뉜 모양이 다르니 두 값이 필요해요. 지도에서 위도는 적도를 0으로 생각해 북위와 남위로 나뉘지만, 구면좌표계에서 위도 $\varphi$는 북극점에 해당하는 점에서 0, 남극점에 해당하는 점에서 $\pi$로 생각하죠.

반지름이 $\rho$, 위도는 0부터 $\varphi$까지, 경도차는 $\theta$인 구의 일부분과 중심을 연결해 만든 입체도형을 생각하면, 회전체의 부피에 대한 적분을 이용해 그 부피를 구할 수 있어요.$$\theta {\int }_0^{\rho \sin \varphi }r(\sqrt{{\rho }^2-r^2}-r\cot \varphi )dr=\theta {[-\frac{1}{3}{({\rho }^2-r^2)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{r}^3\cot \varphi ]}_0^{\rho \sin \varphi }$$$$=\frac{1}{3}{\rho }^3(1-\cos \varphi )\theta$$가 되죠. 즉, 원점을 중심으로 하는 동심구와 $z$축을 기준으로 하는 위도, 경도로 적분영역 $E$를 잘게 나눈다고 생각하면$$\begin{array}{rll}dV& =& \frac{1}{3}((\rho +d\rho {)}^3(\cos \varphi -\cos (\varphi +d\varphi ))d\theta -{\rho }^3(\cos \varphi -\cos (\varphi +d\varphi ))d\theta )\\ & =& 2({\rho }^{2}d\rho +\rho (d\rho {)}^2+\frac{(d\rho {)}^3}{3})\sin (\varphi +\frac{d\varphi }{2})\sin \left(\frac{d\varphi }{2}\right)d\theta \end{array}$$에서 $2\sin \left(\frac{d\varphi }{2}\right)$는 $d\varphi$가 0으로 수렴하는 값이니 $d\varphi$로 근사할 수 있고, 빨간색 부분은 위의 극좌표계에서처럼 0이 되어 사라지니 $dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$가 되겠네요.