피보나치 수열과 황금비

원래 다른 글을 쓰고 싶었지만 적당한 내용들은 아직 정리 중이라 이번엔 지난번에 말했던 황금비에 대한 소개를 할까 해요.

피보나치 수열 Fibonacci sequence은 앞의 두 항의 합이 다음 항이 되는 수열을 말하죠. 즉, 점화식 recurrence relation이 $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$인 수열 $\left\{f_n\right\}$이에요. 특히 $f_1=f_2=1$인 경우를 피보나치 수 Fibonacci numbers라고 하죠.

이렇게 여러 항으로 표현되는 선형 점화식의 경우 특성방정식 characteristic equation의 해를 공비로 가지는 등비수열들의 합으로 일반항을 찾을 수 있어요. 이런 방법은 대학교에서 배우는 공학수학등에서 미분방정식의 해를 구할 때에도 자주 사용하는 방법이죠.

특성방정식은 원래 선형대수에서 나오는 행렬에 대한 개념이에요. 주어진 수열의 점화식이 선형이라면, 즉, $a_{n+k}=c_1{a}_{n+k-1}+c_2{a}_{n+k-2}+\cdots +c_k{a}_n$ ($c_j$는 상수)의 형태라면 이를 $k\times k$행렬로 나타낼 수 있고 그 특성방정식이$${\lambda }^k=c_1{\lambda }^{k-1}+c_2{\lambda }^{k-2}+\cdots +c_{k-1}\lambda +c_k$$가 된다는 거죠. 행렬에 대해 안다면 어려운 내용은 아니에요.$$\left[\begin{array}{c}{a}_{n+k}\\ a_{n+k-1}\\ ⋮\\ a_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_{k-1}& c_k\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0& 0\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{n+k-1}\\ a_{n+k-2}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$$이 성립하니 여기 나온 행렬의 특성방정식을 구한 거죠.

피보나치 수열의 점화식에 대한 특성방정식은 $x^2=x+1$이므로 두 근 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$와 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$로 등비수열을 만들어 일반항을 찾죠. 피보나치 수열의 일반항$$C_1{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+C_2{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$$에 피보나치 수의 초기조건을 넣으면 $C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$이에요.

주목할 점은 위의 특성방정식이 황금비를 구하는 식이라는 거죠. 왜 이런 식이 나올까요?

물론 피보나치 수열은 보통 피보나치 수를 말하긴 하지만, 점화식만으로 판단한다면 위의 특성방정식의 두 근으로 만든 등비수열도 피보나치 수열이라는 거예요. 그러니 양수인 근으로 만든 등비수열을 생각하면 연속한 두 항의 비가 황금비로 나타난다는 거죠.

이전 글에서도 소개한 것처럼 황금비는 보통 $\phi$로 표현해요. 위 특성다항식의 다른 한 근도 $-\frac{1}{\phi }$로 표현할 수 있죠. 즉, 피보나치 수의 일반항은 $\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi }^n-(-\phi {)}^{-n})$이에요. 연속한 두 항의 비를 생각해 보면$$\frac{{\phi }^{n+1}-(-\phi {)}^{-n-1}}{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}=\phi \frac{1-(-\phi {)}^{-2(n+1)}}{1-(-\phi {)}^{-2n}}$$으로 극한이 황금비가 된다는 걸 알 수 있어요.

$x^2=x+1$의 근이 모두 0이 아니므로 $x=1+\frac{1}{x}$라고 표현할 수도 있죠. 이걸 이용해서 황금비를 무한 연분수 infinite continued fraction로도 나타낼 수 있어요.$$\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi }}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi }}}.$$위와 같이 계속 $1+\frac{1}{\phi }$을 대입하는 거죠. 다른 한 근 $-\frac{1}{\phi }$도 이 식을 만족하긴 하지만, 이렇게 다른 값이 나오는 것을 막기 위해 연분수에는 제한조건이 있어요. 이 내용은 다음에 기회가 있으면 다루기로 할게요.

위의 계산이 이차방정식에서 온 것처럼, 연분수에서 나오는 숫자가 (순환소수의 순환마디처럼) 계속 반복해서 나타난다면 그 수는 어떤 이차방정식의 한 근이에요. 그중 특별한 경우를 금속비 metallic mean라고 하죠. 바로 정수 $n$에 대해 $x^2=nx+1$의 양수인 근이에요. $n=1$이면 황금비, $n=2$이면 백은비 silver ratio,...라는 식이죠. 물론 모든 금속비에 이름이 붙어있지는 않고, $n$이 커질수록 비도 너무 커서 잘 쓰지 않아요.

그래도 황금비는 정오각형의 한 변과 대각선의 길이 비이고, 백은비도 정팔각형의 한 변과 그에 평행한 대각선의 길이 비이니, 다른 금속비들도 비슷한 성질을 가지겠죠?