수학하는 아저씨

삼차방정식의 근의 공식을 외우고 있는 분은 별로 없겠죠. 일단 식이 너무 복잡하니까요. 그래도 관심이 있는 분이라면 한 번쯤은 본 적이 있겠죠. 오늘은 이 삼차방정식의 근의 공식을 삼각함수를 이용해 조금 간단하게 나타내 보려고 해요.$x^3+ax^2+bx+c=0$이라는 인수분해 불가능한 유리계수 삼차방정식을 생각해 볼게요. 삼차항의 계수는 0이 아닐 테니 나눠줬다고 생각하면 되죠. 먼저 식을 간단히 하기 위해 최고차항을 제외한 나머지 중 하나를 0으로 만들 방법을 생각해 볼게요.근과 계수와의 관계를 생각하면 세 근의 합이 $-a$, 곱이 $-c$라는 걸 알 수 있죠. 인수분해가 불가능하니 $c\ne0$이에요. 0이라면 $x$를 인수로 가지죠.삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$의 그래프는 $x$..

쌍곡선 hyperbola의 방정식 $x^2-y^2=1$을 매개변수 방정식으로 나타내면 어떻게 될까요? 원의 방정식 $x^2+y^2=1$은 보통 $x=\cos t$와 $y=\sin t$로 매개변수 방정식을 표현하죠. 그래서 삼각함수 trigonometric function를 원함수 circular function라고도 해요.쌍곡선의 매개변수 방정식은 $\p{t+\frac1t}^2-\p{t-\frac1t}^2=4$를 이용해 정의할 수 있어요. $x={t+\frac1t\over2},\quad y={t-\frac1t\over2}$라 하면 쌍곡선의 방정식을 만족하죠. 하지만 이 함수들은 삼각함수와 달리 미분하면 특징이 사라져요. 그래서 미분을 해도, 역수를 취해도 특징이 대부분 유지되는 지수함수를 가져와서 다시 ..

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 $\pi$인 특수한 경우죠. 정확한 공식은\[e^{i\th}=\cos\th+i\sin\th\]예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 $e$나 $\pi$라는 무리수와 $i$라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 $\th$로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..

반지름의 길이가 $R\p{5$\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이고 $\rm\ls{AC}=10$이다.사각형 ABCD의 넓이는 40이다.선분 BD와 $R$의 비를 구하시오.선분 AC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 알고 있으므로 밑변을 AC로 했을 때 삼각형 ABC와 ACD의 높이의 합이 8이라는 것을 알 수 있죠. $\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이므로 원의 중심을 O라 하면 선분 OA는 BD를 수직이등분해요.위에서 말한 높이의 합이 8이라는 건, 선분 AC와 BD가 이루는 각을 $\th$라 할 때, $\ls{\rm BD}\sin\th=8$이라는 거죠. 선분 AC의 중점을 M이라 하고 직각삼각형 OMA를 살펴보면 $\rm\ls{AC}=10$으로부터 $R\cos\p{\frac\pi2-\th}=R\si..