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삼각함수 5

[desmos] 삼각함수를 좌표로 나타내 보자.

방정식 x2+y2=1로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 θ에 대해 (cosθ,sinθ)가 되죠.이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 θ로 나..

삼차방정식의 근의 공식

삼차방정식의 근의 공식을 외우고 있는 분은 별로 없겠죠. 일단 식이 너무 복잡하니까요. 그래도 관심이 있는 분이라면 한 번쯤은 본 적이 있겠죠. 오늘은 이 삼차방정식의 근의 공식을 삼각함수를 이용해 조금 간단하게 나타내 보려고 해요.x3+ax2+bx+c=0이라는 인수분해 불가능한 유리계수 삼차방정식을 생각해 볼게요. 삼차항의 계수는 0이 아닐 테니 나눠줬다고 생각하면 되죠. 먼저 식을 간단히 하기 위해 최고차항을 제외한 나머지 중 하나를 0으로 만들 방법을 생각해 볼게요.근과 계수와의 관계를 생각하면 세 근의 합이 a, 곱이 c라는 걸 알 수 있죠. 인수분해가 불가능하니 c0이에요. 0이라면 x를 인수로 가지죠.삼차함수 f(x)=x3+ax2+bx+c의 그래프는 x..

카테고리 없음 2024.12.12

쌍곡선 함수

쌍곡선 hyperbola의 방정식 x2y2=1을 매개변수 방정식으로 나타내면 어떻게 될까요? 원의 방정식 x2+y2=1은 보통 x=costy=sint로 매개변수 방정식을 표현하죠. 그래서 삼각함수 trigonometric function를 원함수 circular function라고도 해요.쌍곡선의 매개변수 방정식은 (t+1t)2(t1t)2=4를 이용해 정의할 수 있어요. x=t+1t2,y=t1t2라 하면 쌍곡선의 방정식을 만족하죠. 하지만 이 함수들은 삼각함수와 달리 미분하면 특징이 사라져요. 그래서 미분을 해도, 역수를 취해도 특징이 대부분 유지되는 지수함수를 가져와서 다시 ..

카테고리 없음 2024.12.08

eiπ+1=0

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 π인 특수한 경우죠. 정확한 공식은eiθ=cosθ+isinθ예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 eπ라는 무리수와 i라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 θ로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..

카테고리 없음 2024.12.05

[문제 풀이] 삼각함수

반지름의 길이가 $R\p{5AB=AD이고 AC=10이다.사각형 ABCD의 넓이는 40이다.선분 BD와 R의 비를 구하시오.선분 AC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 알고 있으므로 밑변을 AC로 했을 때 삼각형 ABC와 ACD의 높이의 합이 8이라는 것을 알 수 있죠. AB=AD이므로 원의 중심을 O라 하면 선분 OA는 BD를 수직이등분해요.위에서 말한 높이의 합이 8이라는 건, 선분 AC와 BD가 이루는 각을 θ라 할 때, BDsinθ=8이라는 거죠. 선분 AC의 중점을 M이라 하고 직각삼각형 OMA를 살펴보면 AC=10으로부터 $R\cos\p{\frac\pi2-\th}=R\si..

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