수학하는 아저씨

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,x+y+z\ge 1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $|{\iint }_{S}F\cdot dS|$의 값은?사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면$$|{\iint }_{S}F\cdot \eta dS|$$라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론..

오늘은 적분의 정의를 이용해 극좌표계나 구면좌표계로 치환적분을 할 때 나타나는 식이 왜 그런 형태인지 생각해 볼까 해요.함수의 적분을 처음 배울 때 $x$축과 함수의 그래프 사이의 넓이를 구하기 위해 적분 구간을 잘게 나눠 직사각형의 넓이로 근사해 구하는 식을 배우게 되죠.$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}.$$위 식에서 빨강으로 표시된 부분이 잘게 나눈 구간의 너비로 직사각형의 가로라고 생각하면 세로에 해당하는 함숫값을 곱해 넓이가 되는 거죠.사실 이 정도는 적분을 배운 사람이라면 누구나 본 적이 있는 내용일 거예요. 하지만 이 내용이 꼭 직사각형으로만 계산해야 하는 것은 아니에요...

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni Desmos | 기하학 www.desmos.com평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭..

삼차방정식의 근의 공식을 외우고 있는 분은 별로 없겠죠. 일단 식이 너무 복잡하니까요. 그래도 관심이 있는 분이라면 한 번쯤은 본 적이 있겠죠. 오늘은 이 삼차방정식의 근의 공식을 삼각함수를 이용해 조금 간단하게 나타내 보려고 해요.$x^3+a{x}^2+bx+c=0$이라는 인수분해 불가능한 유리계수 삼차방정식을 생각해 볼게요. 삼차항의 계수는 0이 아닐 테니 나눠줬다고 생각하면 되죠. 먼저 식을 간단히 하기 위해 최고차항을 제외한 나머지 중 하나를 0으로 만들 방법을 생각해 볼게요.근과 계수와의 관계를 생각하면 세 근의 합이 $-a$, 곱이 $-c$라는 걸 알 수 있죠. 인수분해가 불가능하니 $c\ne 0$이에요. 0이라면 $x$를 인수로 가지죠.삼차함수 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$의 그래프는 $x$..

쌍곡선 hyperbola의 방정식 $x^2-y^2=1$을 매개변수 방정식으로 나타내면 어떻게 될까요? 원의 방정식 $x^2+y^2=1$은 보통 $x=\cos t$와 $y=\sin t$로 매개변수 방정식을 표현하죠. 그래서 삼각함수 trigonometric function를 원함수 circular function라고도 해요.쌍곡선의 매개변수 방정식은 ${(t+\frac{1}{t})}^2-{(t-\frac{1}{t})}^2=4$를 이용해 정의할 수 있어요. $x=\frac{t+\frac{1}{t}}{2},y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}$라 하면 쌍곡선의 방정식을 만족하죠. 하지만 이 함수들은 삼각함수와 달리 미분하면 특징이 사라져요. 그래서 미분을 해도, 역수를 취해도 특징이 대부분 유지되는 지수함수를 가져와서 다시 ..

2의 거듭제곱이 아닌 자연수를 둘 이상의 연속하는 자연수의 합으로 나타내기 위한 일반적인 방법을 찾고 설명하시오.중학교 2학년인 학생분이 올린 질문이에요. 발상이 어렵지는 않지만, 풀이의 설명이 이해하기 힘들었던 것 같아요.2의 거듭제곱은 음이 아닌 정수 $k$에 대해 $2^k$를 말하죠. 1, 2, 4, 8 등의 수예요.어떤 자연수가 2의 거듭제곱이 아니기 위해서는 그 소인수분해에 2가 아닌 소인수, 즉, 홀수인 소인수가 있어야 하죠. 소인수분해에서 2의 거듭제곱인 부분을 제외한 나머지는 홀수의 곱 만으로 나타나니 홀수가 되고, 3 이상의 자연수들의 곱이니 자연수 $m$에 대해 $2m+1$로 쓸 수 있어요.즉, 2의 거듭제곱이 아닌 자연수는 $2^k(2m+1)$로 나타낼 수 있죠. 이 수를 어떤 자연수..

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 $\pi$인 특수한 경우죠. 정확한 공식은$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 $e$나 $\pi$라는 무리수와 $i$라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 $\theta$로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..

$a(1)$\p{2+\frac12,2+\frac13,2+\frac14,\ldots}$,(2)$\p{\sqrt2+\frac12,\sqrt2+\frac13,\sqrt2+\frac14,\ldots}$.$\cal S$가생성하는위상은$\cal S$를부분기저subbase로가지는가장작은위상이죠.기저base는그원소들의합집합으로모든개집합을만들수있는집합족이고,부분기저는그원소들의유한교집합으로기저를구성할수있는집합족이에요.$\cal S$의원소를유한교집합해서만들수있는집합은$\emp$과전체공간인$\R$,유리수의단집합,그리고$\cal S$의원소예요.$\R$을 교집합으로 만들 수 있다는 것에 아직 익숙하지 않은 분을 위해 설명하자면, 전체 공간은 교집..