수학하는 아저씨

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\th$에 대해 $(\cos\th,\sin\th)$가 되죠.이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\th$로 나..

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 $\pi$인 특수한 경우죠. 정확한 공식은\[e^{i\th}=\cos\th+i\sin\th\]예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 $e$나 $\pi$라는 무리수와 $i$라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 $\th$로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..

통계학을 배우다 보면 나오는 정규 분포 normal distribution의 그래프를 본 적이 있을 거예요. 아시는 분도 있겠지만 정확히는 그 확률 밀도 함수 probability density function\[f(x)={1\over\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac12\p{x-\mu\over\sigma}^2}\]의 그래프로 흔히 '종 모양 곡선'이라고 하죠. $\mu$는 평균 mean(기댓값 expectation), $\sigma$는 표준편차 standard deviation를 나타내요.특히 $\mu=0$이고 $\sigma=1$인 경우를 표준 정규 분포 standard normal distribution라고 하죠.위의 그림은 사실 두 곡선을 겹쳐 그렸어요. desmos 그래핑 계산기에 ..

에피사이클로이드를 소개하면서 함께 설명했던 것처럼, 하이포사이클로이드는 고정된 원을 따라 그 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 지나는 궤적을 말해요.위의 곡선은 하이포사이클로이드 중 하나인 델토이드 deltoid예요. 보시다시피 굴러가는 원이 고정된 원의 $1\over3$이죠. 물론 이 곡선도 에피사이클로이드처럼 두 원의 비에 따라 곡선이 달라지죠. 하지만 지난 글에도 이야기한 것처럼 그릴 때 고려할 점이 많이 달라요.먼저 고정된 원 내부에 생기는 곡선이니 지난번처럼 표현하는 영역을 신경 쓸 필요가 없어요. 대신 굴러가는 원이 내부에 들어가려면 더 작아야 하죠. 또한 에피사이클로이드와 다르게 같은 비가 아니라도 같은 곡선이 나오기도 해요. 물론 비가 무리수가 되면 곡선이 같은 궤적을 반복하지 않는다는 ..

지난번에 그려봤던 사이클로이드는 직선 위를 굴러가는 원으로 만들었죠. 에피사이클로이드 epicycloid와 하이포사이클로이드 hypocycloid는 직선이 아니라 원 위를 굴러가는 원으로 만들어요.평면에서 원 위를 다른 원이 굴러가려면, 내부와 외부의 경우로 나뉘죠. 외부에서 굴러가며 만들어지는 곡선을 에피사이클로이드, 내부의 경우 하이포사이클로이드라고 해요.위의 곡선이 에피사이클로이드 중 하나인 심장형 곡선, 카디오이드 cardioid예요. 기준이 되는 고정된 원(기초원)과 굴러가는 원(구름원 epicycle)의 반지름이 같은 경우죠. 에피사이클로이드는 두 원의 반지름 길이 비에 따라 모양이 달라져요. 기초원의 반지름 길이가 구름원의 유리수 $p\over q$ ($p$와 $q$는 서로소인 양의 정수) ..

오늘은 desmos 연습으로 사이클로이드 곡선을 표현해 볼게요.사이클로이드 cycloid는 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 나타내는 곡선이에요.위 그림은 반지름 1인 원이 $x$축 위를 굴러갈 때 원점을 지나는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드죠. 사실 곡선 자체는 그리 어렵지 않게 그릴 수 있어요. 검색만 조금 해봐도 곡선의 식은 쉽게 알 수 있으니까요.\[x=r(t-\sin t),\quad y=r(1-\cos t).\]위의 식이 잘 알려진 사이클로이드의 매개변수 방정식이에요. 원의 반지름인 $r$의 값을 정해 $r(t-\sin t,1-\cos t)$라고 입력하고, $t$의 범위만 지정해 주면 곡선이 그려지죠.desmos는 $t$를 자연스럽게 매개변수로 인식해요. $t$에 대한 ..