수학하는 아저씨

삼각형 ABC의 변 BC를 지름으로 하는 원과 나머지 두 변 AB와 AC가 만나는 점을 각각 P와 Q라 할 때, $\rm\ls{CP}$와 $\rm\ls{BQ}$의 교점을 H라 하고, 삼각형 HAB, HBC, HCA의 외심을 각각 $\rm O_1,O_2,O_3$라 하자. 이때, 점 H로부터 $\rm O_1,O_2,O_3$에 이르는 거리를 비교하시오.이 문제는 삼각형의 수심과 외심의 관계에 대해 묻는 문제예요. 사실 "삼각형의 외심은 그 중점삼각형의 수심이다"라는 정리만 알면 바로 풀리는 문제죠. 물론 바로라고 해도 보조선 하나 긋지 않고 말하긴 어렵지만요.위 문제의 그림은 desmos의 기하학 도구를 이용해 지식iN에 올라왔던 문제의 그림을 제가 직접 그린 거예요. 여기에 필요한 보조선을 추가해 보면 아래..

desmos에도 3차원 도형을 그릴 수 있는 도구가 있어요. 3D 그래핑 계산기죠. 저도 아직 많이 써보지 않아서 익숙하지는 않아요.아마 그래프를 그리는 건 어렵지 않겠지만, 정다면체 같은 입체도형을 그려보려고 했더니 처음엔 막막하더라구요. 그러다 찾은 첫 방법은 부등식이에요. 평면은 세 변수의 일차 방정식으로 표현할 수 있으니, 다면체의 한 면을 기준으로 일차 부등식을 넣고 나머지 면들에 대한 부등식을 제한조건으로 주는 거죠.https://www.desmos.com/3d/neu2mpeo59 Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com위의 링크는 정사면체 regular tetrahedron를 그려본 거예요. 정사면체는 정육면체의 서로 이웃하지 않은 네 꼭짓점을 이어 만들 수 있죠. 이를..

원래 다른 글을 쓰고 싶었지만 적당한 내용들은 아직 정리 중이라 이번엔 지난번에 말했던 황금비에 대한 소개를 할까 해요.피보나치 수열 Fibonacci sequence은 앞의 두 항의 합이 다음 항이 되는 수열을 말하죠. 즉, 점화식 recurrence relation이 $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$인 수열 $\set{f_n}$이에요. 특히 $f_1=f_2=1$인 경우를 피보나치 수 Fibonacci numbers라고 하죠.이렇게 여러 항으로 표현되는 선형 점화식의 경우 특성방정식 characteristic equation의 해를 공비로 가지는 등비수열들의 합으로 일반항을 찾을 수 있어요. 이런 방법은 대학교에서 배우는 공학수학등에서 미분방정식의 해를 구할 때에도 자주 사용하는 방법이죠.더보기특..

정오각형에서 나타나는 황금비는 잘 알려져 있죠? desmos 연습으로 이 황금비에 대해 살펴보죠.정오각형은 대각선 하나로 삼각형과 사각형으로 나뉘죠. 이때 삼각형은 이등변삼각형으로 꼭짓각이 $3\pi\over5$=108˚, 밑각이 $\pi\over5$=36˚예요. 한 꼭짓점을 공유하는 두 대각선에 대해 이런 이등변삼각형을 생각해 보면, 대각선이 정오각형의 내각을 정확히 삼등분한다는 걸 알 수 있죠.정오각형의 세 꼭짓점을 이어 만들 수 있는 삼각형은 모두 이등변삼각형 두 가지 중 하나로 나타나요. 하나는 위에서 말한 것과 같은 형태, 다른 하나는 한 변과 그 대각을 이어 만든 꼭짓각이 $\pi\over5$인 경우죠. 그리고 각 삼각형들과 꼭짓점을 공유하는 다른 대각선으로 삼각형을 둘로 나눴을 때, 두 삼각..

이번에 프로필 사진을 바꿨어요. 언젠가 제 상징처럼 만들었던 도형이에요. 이상한 아저씨의 프로필 사진치고는 꽤 예쁘죠? 사실 구상한 지는 오래됐지만 desmos 연습도 할 겸, 새로 만들어서 프로필로 올려봤어요.처음 본 사람들은 어떤 도형인지 못 알아보더라구요. 점 위치가 조금 들쭉날쭉하지만 이 도형은 십망성 decagram이죠. 일부러 더 예쁘게 만들려고 꼭짓점 위치를 조정한 거예요. 색은 desmos에서 기본적으로 사용되는 색에 제가 좋아하는 계열이 있길래 골라봤어요.저는 오망성, 육망성 같은 용어가 괜찮은 것 같은데 사람들이 잘 쓰지 않고 보통은 오각별, 육각별로 쓰더라구요. (차라리 오각성, 육각성이 나을 거 같은데..)십망성 중에서 교차점에서 꺾지 않고 꼭짓점을 변으로 이어가면서 한 번에 모두 ..

지난 글에서도 소개한 desmos에서 저는 주로 그래핑 계산기 calculator를 써요. 아직 다른 도구는 별로 사용해 본 적이 없지만, 제가 주로 쓸 만한 기능은 여기에 다 있는 것 같더라구요.또 저는 주로 데스크탑으로 작업을 하기에 앱을 따로 쓰지는 않아요. 아무래도 변수나 명령어를 모두 영문으로 쓰다 보면 키보드가 훨씬 편한 게 사실이죠.웹페이지(https://www.desmos.com/?lang=ko)에 처음 들어가서 필요한 기능이 있는 도구를 골라 들어가면, 솔직히 처음에는 막막하긴 하더라구요. 그래도 위에 있는 도움말에서 튜토리얼을 포함해서 여러 가지 가이드가 있어요. 사실 전 GeoGebra도 써봤기도 하고 해서 둘러보기 두 개 밖에 안 봤지만요.desmos는 GeoGebra에 비해 슬라이..

반지름의 길이가 $R\p{5$\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이고 $\rm\ls{AC}=10$이다.사각형 ABCD의 넓이는 40이다.선분 BD와 $R$의 비를 구하시오.선분 AC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 알고 있으므로 밑변을 AC로 했을 때 삼각형 ABC와 ACD의 높이의 합이 8이라는 것을 알 수 있죠. $\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이므로 원의 중심을 O라 하면 선분 OA는 BD를 수직이등분해요.위에서 말한 높이의 합이 8이라는 건, 선분 AC와 BD가 이루는 각을 $\th$라 할 때, $\ls{\rm BD}\sin\th=8$이라는 거죠. 선분 AC의 중점을 M이라 하고 직각삼각형 OMA를 살펴보면 $\rm\ls{AC}=10$으로부터 $R\cos\p{\frac\pi2-\th}=R\si..